Lý thuyết số giải tích nghiên cứu lý thuyết số qua các khái niệm hàm số liên tục, giới hạn, chuỗi vô hạn và các khái niệm liên quan đến vô hạn và số nhỏ vô hạn.

Leonhard Euler là người đầu tiên khởi xướng ra ngành nghiên cứu này với thành tựu quan trọng đầu tiên là lời giải cho bài toán Basel. Bài toán yêu cầu tìm giá trị của tổng vô hạn 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + … {\displaystyle 1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\dots } mà ngày nay được công nhận là giá trị ζ ( 2 ) {\displaystyle \zeta (2)} của hàm zeta Riemann. Hàm này có liên hệ mật thiết với số nguyên tố và giả thuyết Riemann, một trong những bài toán chưa được giải có ý nghĩa quan trọng nhất trong toán học. Euler chứng minh được rằng ζ ( 2 ) = π 2 / 6 {\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6} .[71] Nghịch đảo của số đó, 6 / π 2 {\displaystyle 6/\pi ^{2}} , là giới hạn của xác suất để hai số được chọn ngẫu nhiên từ một khoảng giá trị lớn là hai số nguyên tố cùng nhau (không có thừa số chung nào).[72]

Sự phân phối các số nguyên tố trong khoảng giá trị lớn đó, chẳng hạn như có bao nhiêu số nguyên tố nhỏ hơn một số lớn cho trước, được mô tả bởi định lý số nguyên tố, nhưng không có công thức cho số nguyên tố thứ n {\displaystyle n} được biết đến. Ở dạng cơ bản nhất, định lý Dirichlet về cấp số cộng phát biểu rằng đa thức tuyến tính

p ( n ) = a + b n {\displaystyle p(n)=a+bn}

với a {\displaystyle a} và b {\displaystyle b} nguyên tố cùng nhau cho vô số các giá trị nguyên tố. Dạng chặt chẽ hơn của định lý phát biểu rằng tổng của nghịch đảo các giá trị nguyên tố đó phân kỳ, và các đa thức tuyến tính khác nhau với b {\displaystyle b} bằng nhau có tỉ lệ số nguyên tố gần như nhau. Mặc dù đã có nhiều giả thuyết được đặt ra về tỉ lệ số nguyên tố trong các đa thức bậc cao nhưng chúng vẫn chưa được chứng minh, và không rõ có tồn tại một đa thức bậc hai nào có thể luôn cho các giá trị nguyên tố một cách thường xuyên hơn hay không.

Chứng minh định lý Euclid bằng giải tích

Chứng minh của Euler về sự tồn tại vô số số nguyên tố xét tổng nghịch đảo các số nguyên tố

1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + ⋯ + 1 p . {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}.}

Euler chứng minh được rằng với một số thực x {\displaystyle x} bất kỳ, tồn tại một số nguyên tố p {\displaystyle p} sao cho tổng trên lớn hơn x {\displaystyle x} .[73] Nếu chỉ có một số hữu hạn các số nguyên tố thì tổng này phải đạt giá trị lớn nhất tại số nguyên tố lớn nhất thay vì tăng dần qua các giá trị của x {\displaystyle x} , do đó có vô số số nguyên tố. Tốc độ gia tăng giá trị của tổng này được mô tả rõ hơn trong định lý thứ hai của Mertens.[74] Để so sánh, tổng

1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 n 2 {\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}}

không tăng đến vô hạn khi n {\displaystyle n} tiến đến vô hạn (xem bài toán Basel). Trong trường hợp này, số nguyên tố xuất hiện thường xuyên hơn so với bình phương các số tự nhiên, mặc dù cả hai tập hợp đều là vô hạn.[75] Định lý Brun phát biểu rằng tổng nghịch đảo các số nguyên tố sinh đôi

( 1 3 + 1 5 ) + ( 1 5 + 1 7 ) + ( 1 11 + 1 13 ) + ⋯ {\displaystyle \left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots }

là hữu hạn. Do định lý này nên không thể áp dụng cách của Euler để chứng minh giả thuyết số nguyên tố sinh đôi rằng có vô số cặp số nguyên tố sinh đôi.[75]

Số lượng số nguyên tố nằm dưới một số cho trước

Sai số tuơng đối của n log ⁡ n {\displaystyle {\frac {n}{\log n}}} và tích phân logarit Li ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Li} (n)} , hai xấp xỉ của hàm đếm số nguyên tố. Cả hai sai số tuơng đối đều giảm dần về 0 khi n {\displaystyle n} tăng dần, nhưng tốc độ giảm này nhanh hơn nhiều đối với tích phân logarit.

Hàm đếm số nguyên tố π ( n ) {\displaystyle \pi (n)} được định nghĩa là số lượng số nguyên tố không lớn hơn n {\displaystyle n} .[76] Ví dụ, π ( 11 ) = 5 {\displaystyle \pi (11)=5} , nghĩa là có 5 số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng 11. Có một số phương pháp để tính giá trị chính xác của π ( n ) {\displaystyle \pi (n)} nhanh hơn so với khi liệt kê tất cả các số nguyên tố lớn đến n {\displaystyle n} , chẳng hạn như thuật toán Meissel–Lehmer.[77] Định lý số nguyên tố phát biểu rằng π ( n ) {\displaystyle \pi (n)} tiệm cận với n / log ⁡ n {\displaystyle n/\log n} hay

π ( n ) ∼ n log ⁡ n , {\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\log n}},}

nghĩa là tỉ số giữa π ( n ) {\displaystyle \pi (n)} và phân số ở vế phải tiến về 1 khi n {\displaystyle n} tăng đến vô hạn.[78] Kéo theo đó, xác suất để một số nhỏ hơn n {\displaystyle n} được chọn ngẫu nhiên là số nguyên tố tỉ lệ nghịch với số chữ số của n {\displaystyle n} .[79] Đồng thời, số nguyên tố thứ n {\displaystyle n} tỉ lệ thuận với n log ⁡ n {\displaystyle n\log n} và độ dài trung bình của khoảng cách nguyên tố tỉ lệ thuận với log ⁡ n {\displaystyle \log n} .[65][80] Một xấp xỉ chính xác hơn của π ( n ) {\displaystyle \pi (n)} được cho bởi tích phân logarit bù[78]

π ( n ) ∼ Li ⁡ ( n ) = ∫ 2 n d t log ⁡ t . {\displaystyle \pi (n)\sim \operatorname {Li} (n)=\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log t}}.}

Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn sao cho các số liên tiếp trong dãy đều có chênh lệch bằng nhau.[81] Chênh lệch đó được gọi là mô đun (công sai) của cấp số cộng.[82] Ví dụ,

3, 12, 21, 30, 39, ...

là cấp số cộng vô hạn với mô đun 9. Trong một cấp số cộng, phép chia của tất cả các số cho mô đun đều cho số dư bằng nhau; trong ví dụ trên, số dư đó bằng 3. Vì cả mô đun 9 và số dư 3 đều là bội của 3 nên các phần tử khác trong dãy cũng vậy. Do đó, cấp số cộng đã cho chỉ chứa một số nguyên tố duy nhất, đó chính là số 3. Tổng quát, cấp số cộng vô hạn

a , a + q , a + 2 q , a + 3 q , … {\displaystyle a,a+q,a+2q,a+3q,\dots }

có thể chứa nhiều hơn một số nguyên tố chỉ khi số dư a {\displaystyle a} và mô đun q {\displaystyle q} nguyên tố cùng nhau. Khi đó, theo định lý Dirichlet về cấp số cộng, cấp số cộng đó chứa vô số số nguyên tố.[83]

Định lý Green–Tao cho thấy tồn tại các cấp số cộng hữu hạn dài tùy ý chỉ chứa các số nguyên tố.[35][84]

Giá trị nguyên tố của đa thức bậc hai

Xoắn Ulam. Các số nguyên tố (màu đỏ) tập trung ở một số đường chéo nhất định. Các giá trị nguyên tố của 4 n 2 − 2 n + 41 {\displaystyle 4n^{2}-2n+41} được tô màu xanh.

Euler nhận thấy rằng hàm

n 2 − n + 41 {\displaystyle n^{2}-n+41}

cho giá trị là số nguyên tố với 1 ≤ n ≤ 40 {\displaystyle 1\leq n\leq 40} , mặc dù các giá trị hợp số bắt đầu xuất hiện khi n {\displaystyle n} lớn hơn 40.[85][86] Việc tìm ra giải thích cho hiện tượng này chính là tiền đề của lý thuyết số đại số với số Heegner và bài toán lớp số.[87] Giả thuyết F của Hardy–Littlewood dự đoán mật độ số nguyên tố trong các giá trị của đa thức bậc hai với hệ số nguyên về mặt tích phân logarit và hệ số của đa thức. Không có đa thức bậc hai nào được chứng minh là chỉ cho các giá trị nguyên tố.[88]

Xoắn Ulam sắp xếp các số tự nhiên thành một mặt phẳng hai chiều, xoắn ở các hình vuông đồng tâm quanh điểm gốc với số nguyên tố được đánh dấu. Dễ thấy trong ví dụ này, các số nguyên tố chỉ tập trung ở một số đường chéo nhất định, ngụ ý rằng có một số đa thức bậc hai cho giá trị nguyên tố thường xuyên hơn các đa thức khác.[88]

Hàm zeta và giả thuyết Riemann

Đồ thị giá trị tuyệt đối của hàm zeta

Giả thuyết Riemann (1859) là một trong những bài toán chưa được giải nổi tiếng nhất toán học và một là trong bảy bài toán thiên niên kỷ, yêu cầu tìm các nghiệm số của hàm zeta Riemann ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} . Hàm này là một hàm giải tích trên tập số phức. Với số phức s {\displaystyle s} có phần thực lớn hơn 1, nó bằng một tổng vô hạn trên tất cả số nguyên và một tích vô hạn trên tất cả số nguyên tố:

ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = ∏ p  nguyên tố 1 1 − p − s . {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ nguyên tố}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.}

Sự bằng nhau này giữa một tổng và một tích (do Euler tìm ra) được gọi là tích Euler.[89] Tích Euler có thể được suy ra từ định lý cơ bản của số học và cho thấy sự liên hệ giữa hàm zeta và số nguyên tố.[90] Nó dẫn đến một cách chứng minh khác về sự tồn tại vô số số nguyên tố: nếu chỉ có một số hữu hạn số nguyên tố thì dấu bằng giữa tổng và tích cũng xảy ra tại s = 1 {\displaystyle s=1} nhưng tổng có tính phân kỳ (đó chính là chuỗi điều hòa 1 + 1 2 + 1 3 + … {\displaystyle 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dots } ) trong khi tích có tính hội tụ (mang giá trị hữu hạn), mâu thuẫn.[91]

Giả thuyết Riemann phát biểu rằng nghiệm số của hàm zeta là tất cả các số âm chẵn hoặc các số phức với phần thực bằng 1/2.[92] Chứng minh ban đầu của định lý số nguyên tố được dựa trên dạng không chặt chẽ của giả thuyết này cho rằng không có nghiệm số nào có phần thực bằng 1,[93][94] mặc dù còn có thêm một số cách chứng minh cơ bản khác.[95] Hàm đếm số nguyên tố có thể được biểu diễn bởi công thức tường minh của Riemann thành một tổng mà trong đó, mỗi số hạng đến từ một nghiệm số của hàm zeta: số hạng chính của tổng là tích phân logarit và các số hạng còn lại làm cho giá trị của tổng dao động quanh số hạng chính đó.[96] Trong trường hợp này, các nghiệm số làm ảnh hưởng đến sự phân phối các số nguyên tố. Nếu giả thuyết Riemann là đúng, độ dao động đó sẽ nhỏ lại và sự phân phối tiệm cận các số nguyên tố được cho bởi định lý số nguyên tố cũng đúng trên các khoảng nhỏ hơn rất nhiều (có độ dài gần bằng căn bậc hai của x {\displaystyle x} đối với khoảng nằm gần một số x {\displaystyle x} ).[94]